Beberapa Contoh Logika Matematika

Matematika Tahukah Anda Beberapa Contoh Logika Matematika? Bagi Anda yang banyak berkecimpung dalam dunia logika filosofi, ilmu komputer teoritis, dan dasar matematika pasti tahu cabang ilmu matematika yang satu ini, yaitu Logika Matematika. Logika Matematika sering kali dibagi menjadi beberapa bidang teori himpunan, teori model, teori rekursi, dan teori pembuktian.

Sejak awal, Logika Matematika telah berkontribusi dan telah dimotivasi oleh pembelajaran dasar matematika. Pembelajaran ini dimulai pada akhir abad 19 dengan pengembangan kerangka aksiomatik untuk geometri, aritmetika dan analisa.

Pada awal abad 20, Logika Matematika ini dibentuk oleh program David Hilbert untuk membuktikan konsistensi teori dasar. Hasil dari Kurt Gödel, Gerhard Gentzen dan lainnya memberikan resolusi parsial pada program dan mengklarifikasi masalah-masalah yang terkait dalam pembuktian konsistensi. Kerja dalam teori himpunan menunjukkan bahwa hampir seluruh matematika biasa dapat diformalisasikan dalam bentuk himpunan, walaupan ada beberapa teorema yang tidak dapat dibuktikan dalam sistem aksioma umum untuk teori himpunan.

Pada tahun 1930-an, beberapa karya penting mengenai Logika Matematika menunjukkan bahwa sebagian besar teori matematika, layaknya fisika dan biologi merupakan hipotetis deduktif. Maka dari itu, matematika menjadi lebih dekat ke ilmu pengetahuan alam dengan hipotesis-hipotesis berupa dugaan.

Maka teori kategori dikembangkan demi memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika, dan teori himpunan. Pada kurun waktu tahun 1900-an hingga 1930-an, penjelasan dasar kaku untuk matematika dilakukan menggunkan kata majemuk “krisis dasar”.

Hingga kini, beberapa ketidaksetujuan mengenai dasar-dasar matematika masih terus berlanjut. Pemicu krisis dasar adalah silang sengketa di masa tersebut yang mencakup kontroversi Brouwer-Hilbert dan kontroversi teori himpunan Cantor.

Penempatan matematika pada suatu kerangka kerja aksiomatis yang kaku dan mengkaji hasil-hasil kerangka kerja tersebut merupakan salah satu cara memperhatikan Logika Matematika. Logika Matematika merupakan tempat bagi Teori Ketidaklengkapan kedua Gödel, kemungkinan hasil yang paling dirayakan pada dunia logika, secara informal mengakibatkan bahwa dalam suatu sistem formal yang berisi aritmetika dasar, jika semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar, maka tak lengkap atau terdapat teorema sejati yang tak dapat dibuktikan pada sistem tersebut.

Penghubung dalam Logika Matematika

Logika Matematika memiliki lima penghubung. Penghubung-penghubung tersebut adalah Negasi, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Ekuivalensi. Sebelum mendalami mengenai kelima penghubung tersebut, mari kita pahami terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan logika proposisi dan logika predikat.

Logika proposisi atau bisa disebut juga dengan kalkulus proposisi bersifat menelaah manipulasi antar proposisi, sedangkan logika predikat atau biasa juga disebut dengan kalkulus predikat bersifat menelaah manipulasi antar predikat. Suatu proposisi adalah suatu kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu benar (B) atau salah (S).

Contoh kalimat deklaratif dengan proposisi primitif adalah “Jeff Keith adalah vokalis band Tesla” atau “Delapan merupakan sebuah bilangan genap”. Contoh kalimat deklaratif dengan proposisi majemuk (memuat penghubung “atau” dan “jika.. maka…” adalah “Endah Tri Utami mendalami industri finansial atau telekomunikasi” dan “Jika 20 habis dibagi dengan 5, maka juga habis dibagi dengan 2”. Penjelasan mengenai setiap penghubung itu adalah sebagai berikut.

  • Negasi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q adalah proposisi, maka untuk sembarang proposisi, p, dengan nilai kebenaran B/S, maka negasinya ditulis dengan notasi ~p yang memiliki nilai kebenaran lawannya, S/B.
  • Konjungsi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q adalah proposisi, maka konjungsi p dan q dinyatakan dengan pɅq adalah suatu proposisi yang bernilai benar jika proposisi p dan q keduanya memiliki nilai yang benar.
  • Disjungsi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q adalah proposisi, disjungsi p dan q dinyatakan dengan pѴq adalah proposisi yang memiliki nilai salah jika proposisi p dan q keduanya memiliki nilai salah.
  • Implikasi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q adalah suatu proposisi maka implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p →q, adalah proporsi yang memiliki nilai salah jika dan hanya jika p memiliki nilai benar dan q memiliki nilai salah. Proposisi p disebut dengan anteseden atau dapat juga dikatakan premis atau hipotesa, dan proporsa q disebut dengan konsekuen atau kesimpulan.
  • Ekuivalensi sebagai penghubung dalam Logika Matematika. Jika p dan q adalah suatu proposisi maka ekivalensi dari p dan q dinyatakan dengan p ↔ q adalah proposisi yang memiliki nilai benar jika proporsi p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.

Berikut ini adalah contoh-contoh proposisi dalam Logika Matematika.

  • p: Bulan adalah satu-satunya satelit bumi di galaksi bima sakti yang memantulkan cahaya (B).
  • q: Satu abad sama dengan 100 tahun (B).
  • r: 4 + 3 = 8 (S).

Maka jika menggunakan penghubung dalam Logika Matematika dalam penjelasan sebelumnya, berikut ini adalah hasilnya.

  1. ~p: Bulan bukan satu-satunya satelit bumi di galaksi bima sakti yang memantulkan cahaya (S)
  2. qɅr: Satu abad sama dengan 100 tahun dan 4 + 3 = 8 (S).
  3. qѴr: Satu abad sama dengan 100 tahun atau 4 + 3 = 8 (B).
  4. q→r: Jika satu abad sama dengan 100 tahun maka 4 + 3 = 8 (S).
  5. q↔r: Jika satu abad sama dengan 100 tahun jika dan hanya jika 4 + 3 = 8 (S).

Berikut ini adalah contoh pernyataan proporsi dengan simbol dan cara untuk menyatakan benar atau salah.

Thomas Alva Edison menemukan sejumlah penemuan penting dan tidak benar bahwa radio pertama kali dirakit pada abad ke sembilan belas atau satu Tesla setara dengan 100 Gauss. Maka pada setiap proposisi primitive tersebut kita beri simbol, yaitu:

  • p: Thomas Alva Edison menemukan sejumlah penemuan penting (B);
  • q: radio pertama kali dirakit pada abad ke Sembilan belas (B);
  • r: satu Tesla setara dengan seratus Gauss (S).

Secara simbolik, proporsi tersebut adalah p Ʌ ~q Ѵ r sehingga diperoleh B Ʌ ~B Ѵ S  ↔  ( B Ʌ S) Ѵ S  ↔  S Ѵ S  ↔  S. Dengan demikian, logika matematika dari proposisi tersebut memiliki nilai yang salah.

Implikasi dalam Logika Matematika

Implikasidalam Logika Matematika terdiri dari atas macam, yaitu Tautologi, Kontradiksi dan Satisfiabel. Suatu proporsi dikatakan memiliki nilai tautologi jika proporsi tersebut mempunyai nilai yang benar pada setiap pemberian nilai kebenaran di setiap variabelnya.

Suatu proporsi dikatakan memiliki nilai kontradiksi, jika proporsi tersebut memiliki nilai salah pada setiap pemberian nilai kebenaran di setiap variabelnya. Dan yang terakhir, suatu proporsi dikatakan memiliki nilai satisfiabel jika memiliki nilai benar pada suatu pemberian nilai kebenaran di setiap variabelnya.

Data berikut ini akan memperlihatkan proporsi tautologi (p Ѵ ~p) dan kontradiksi (p Ʌ ~p).

  • p         (p Ѵ ~p)         (p Ʌ ~p)
  • B         B                     S
  • S         B                     S

Dan berikut ini adalah daftar logika matematika dengan proposisi satisfiabel (p→q).

  • p           q           p→q
  • B           B           B
  • B           S           S
  • S           B           B
  • S           S           B

Artikel ini hanyalah menjelaskan beberapa contoh dalam beberapa logika matematika, untuk lebih lengkapnya Anda dapat mendalaminya dalam buku teks matematika.

Tinggalkan komentar

Filed under Matematika

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s